22.
0 < z < y
Är (x + y)/z > (x + z)/y?

(1) x > y

(2) x > 0

Tillräcklig information för lösningen erhålles
A i (1) men ej i (2)
B i (2) men ej i (1)
C i (1) tillsammans med (2)
D i (1) och (2) var för sig
E ej genom de båda påståendena

Hur närmar man sig en sådan här uppgift? Jag försökte sätta in lite random siffror, och gissade därefter D, vilket är rätt. Men hur kan man vara säker på detta?

Lite hjälp här skulle uppskattas enormt! Eller tips på var man kan lära sig den här typen av matematik.

Då man vet att z och y är positiva (från olikheten 0<z<y) så kan man multiplicera med zy på bägge sidor (utan att olikhetstecknet byter håll), så får man ett enklare uttryck att analysera:

y(x+y)>z(x+z)

Från påstående (1) får vi reda på att x är större än både z och y (således också positivt).

Då kan man titta på de bägge produkterna:

0<z<y<x -->{+x i alla termer}--> (0+x)<(z+x)<(y+x)<(x+x)

Man ser då att (x+y)>(x+z)

Vi vet också att y>z.

Alltså; produkten i vänsterledet är produkten av två tal som båda är större än de tal som multipliceras ihop i högerledet.
-----------
I påstående (2) får vi reda på att x kan va vilket positivt tal som helst, men även 0.

Låter vi x=0; y(0+y)>z(0+z)
--> yy>zz {y>z:från grundpåståendet}; olikheten stämmer.

Låter vi x vara vilket positivt heltal (x) som helst:
--> yx+yy>zx+zz
{multiplicerar olikheten i grundpåståendet med x: 0x<zx<yx (x är positivt alltså vänder inte tecknet)}

Alltså; zx<yx och zz<yy --> yx+yy>zx+zz


Vet inte om det var det smidigaste sättet att göra det på. Man behöver ju inte göra alla jämförelser, utan man ser väl ganska snabbt vad som gäller.

EDIT: Såg att x var skilt från noll i påstående (2). Så man behöver inte titta på när x=0...

Tack för förklaringen MichaelRP, men jag har lite svårt att förstå vad du gjorde i tvåan. Någon som känner ett kall att förklara på en tioårings nivå?

MichaelRP skrev:
Låter vi x vara vilket positivt heltal (x) som helst:
--> yx+yy>zx+zz -->Kommer från y(x+y)>z(x+z)

{multiplicerar olikheten i grundpåståendet med x: 0x<zx<yx (x är positivt alltså vänder inte tecknet)}

Alltså; zx<yx och zz<yy --> yx+yy>zx+zz --> Genom en jämförelse av produkterna på båda sidor i den här olikheten yx+yy>zx+zz, så ser man att båda produkerna i vänsterledet är större än motsvarande i högerledet. Vilket också ger att summan av dessa produkter är större än summan av produkterna i högerledet, alltså är olikheten sann.

Man kan även utgå från den här olikheten y(x+y)>z(x+z) och jämföra produkterna där.

Vi vet från påstående (1) att;

0<z<y -->{+x i alla termer}--> (0+x)<(z+x)<(y+x)

Man ser då att (x+y)>(x+z)

Vi vet även från grundinfo att;

0 < z < y


Tittar vi på y(x+y)>z(x+z) så ser vi även här att produkten i högerledet är större än produkten i vänsterledet [y är större än z, och (x+y) är större än (x+z)]

MichaelRP skrev:

MichaelRP skrev:
Låter vi x vara vilket positivt heltal (x) som helst:
--> yx+yy>zx+zz -->Kommer från y(x+y)>z(x+z)

{multiplicerar olikheten i grundpåståendet med x: 0x<zx<yx (x är positivt alltså vänder inte tecknet)}

Alltså; zx<yx och zz<yy --> yx+yy>zx+zz --> Genom en jämförelse av produkterna på båda sidor i den här olikheten yx+yy>zx+zz, så ser man att båda produkerna i vänsterledet är större än motsvarande i högerledet. Vilket också ger att summan av dessa produkter är större än summan av produkterna i högerledet, alltså är olikheten sann.

Man kan även utgå från den här olikheten y(x+y)>z(x+z) och jämföra produkterna där.

Vi vet från påstående (1) att;

0<z<y -->{+x i alla termer}--> (0+x)<(z+x)<(y+x)

Man ser då att (x+y)>(x+z)

Vi vet även från grundinfo att;

0 < z < y


Tittar vi på y(x+y)>z(x+z) så ser vi även här att produkten i högerledet är större än produkten i vänsterledet [y är större än z, och (x+y) är större än (x+z)]

Du menar väl att produkten i vänstra ledet är större än den högra? Eller misstar jag mig fel?

Flow91 skrev:

MichaelRP skrev:

MichaelRP skrev:
[Klipp]


Tittar vi på y(x+y)>z(x+z) så ser vi även här att produkten i högerledet är större än produkten i vänsterledet [y är större än z, och (x+y) är större än (x+z)]

Du menar väl att produkten i vänstra ledet är större än den högra? Eller misstar jag mig fel?

Yes, precis. Ibland skriver jag inte vad jag menar...

MichaelRP skrev:

Flow91 skrev:

MichaelRP skrev:
Du menar väl att produkten i vänstra ledet är större än den högra? Eller misstar jag mig fel?

Yes, precis. Ibland skriver jag inte vad jag menar...

Hihi, gör inget! Önskar att jag var så uppmärksam på det riktiga provet bara. ;P Bra lösning btw!

Hej!

Se min lösning här: http://www.matteboken.se/?valdSida=nogD ... rs=Nog_Dtk

Kan vara bra ibland att se flera alternativa lösningar.

/Tomas

Nu kanske jag tänker fel men är inte uppgiften mycket lättare än den ser ut? Svar ska vara D.

"Är (x + y)/z > (x + z)/y ?"

Om man först innan man tittar på påståendena bortser från x så blir det y/z > z/y vilket är självklart eftersom att y > z och båda är positiva tal (0 < z < y).

(1) säger att x > y. Ja men det är väl självklart då att olikheten fortfarande stämmer? Adderar du ett positivt tal till y/z och samma heltal till z/y så kommer y/z fortfarande vara störst eftersom att det var störst från början innan additionen.

(2) säger att x > 0. Samma sak. Spelar ingen roll om x är 1 eller 1 000 000.



Om man provar sätta värden. vi säger att z = z och y = z + 1

(z + 1)/z är större än z/(z + 1) eftersom att z är ett positivt tal. (z + 1 + 1)/z är större än z/(z + 1 + 1), samma sak om man ersätter ettan med 1 000 000.


EDIT: Tänk om x = oändligheten? Oändligheten + y är fortfarande oändlighet. Oändligheten + z är fortfarande oändlighet. Oändlighet delat med y är fortfarande oändlighet. Oändlighet delat med z är fortfarande oändlighet. Då stämmer inte påståendet. Då borde väl svaret vara E?

Angor skrev:EDIT: Tänk om x = oändligheten? Oändligheten + y är fortfarande oändlighet. Oändligheten + z är fortfarande oändlighet. Oändlighet delat med y är fortfarande oändlighet. Oändlighet delat med z är fortfarande oändlighet. Då stämmer inte påståendet. Då borde väl svaret vara E?

Är inte det här mer filosofi än matematik?

I vilken matte lär man sig om begreppet oändligheten? Det är väl inte förrän Matte C, eller?

simwes skrev:I vilken matte lär man sig om begreppet oändligheten? Det är väl inte förrän Matte C, eller?

Nej, man lär sig inte det i matte C. I matte E tror jag.

en fråga:

Jag gjorde nyligenn 22:an och svarade D....den tekniken jag använde mig av var att sätta in lite olika tal somm följde dem olika påståendena och så kunde jag gansk snabbt se attt det blev D......men vissa inlägg här ser läskigt krångliga ut eller är det värt att tänka så?

carmal skrev:en fråga:

Jag gjorde nyligenn 22:an och svarade D....den tekniken jag använde mig av var att sätta in lite olika tal somm följde dem olika påståendena och så kunde jag gansk snabbt se attt det blev D......men vissa inlägg här ser läskigt krångliga ut eller är det värt att tänka så?

Ju djupare man tänker, desto större chans är det att man förstår och kanske löser likanande tal?