Matematik D - Trigonometriska ekvationer och samband

Frågor om icke-högskoleprovrelaterade ämnen
Skriv svar
anjanas
Före detta VIP-Medlem
Före detta VIP-Medlem
Inlägg: 55
Blev medlem: lör 04 okt, 2008 12:10

Matematik D - Trigonometriska ekvationer och samband

Inlägg av anjanas »

Tjosanhejsan!

I triangeln ABC är AB = 5 cm, BC = 6 cm och AC = 4 cm.

1 a) Beräkna vinklarna A och B med fyra decimaler.

b) Resultatet i a) antyder ett enkelt samband mellan vinklarna A och B. Formulera och bevisa detta.

Jag har beräknat vinklarna i a) och kommit fram till att vinkel B är 2A, dvs dubbelt så stor. Men huruvida jag kan komma fram till detta sambandet mer än att se det på resultatet vet jag inte riktigt. Är det nån speciell formel jag ska använda?

2. Visa hur sambandet cos 2A = cos^2A-1 kan fås ur likheterna
cos (u+v) = cos u cos v - sin u sin v och sin^2u + cos^2u = 1

(Olyckligtvis lämnade facit på uppgift två enbart ett bindestreck så jag har ingen aning alls här.)

Tack på f-hand! :)
Michster
Bronspostare
Bronspostare
Inlägg: 665
Blev medlem: sön 26 maj, 2013 20:31

Re: Matematik D - Trigonometriska ekvationer och samband

Inlägg av Michster »

anjanas skrev:Tjosanhejsan!

I triangeln ABC är AB = 5 cm, BC = 6 cm och AC = 4 cm.

1 a) Beräkna vinklarna A och B med fyra decimaler.

b) Resultatet i a) antyder ett enkelt samband mellan vinklarna A och B. Formulera och bevisa detta.

Jag har beräknat vinklarna i a) och kommit fram till att vinkel B är 2A, dvs dubbelt så stor. Men huruvida jag kan komma fram till detta sambandet mer än att se det på resultatet vet jag inte riktigt. Är det nån speciell formel jag ska använda?

2. Visa hur sambandet cos 2A = cos^2A-1 kan fås ur likheterna
cos (u+v) = cos u cos v - sin u sin v och sin^2u + cos^2u = 1

(Olyckligtvis lämnade facit på uppgift två enbart ett bindestreck så jag har ingen aning alls här.)

Tack på f-hand! :)
Lite för trött för uppgift 1 just nu så svarar på den imorgon om inte någon nattuggla hjälpt dig tills dess. Uppgift 2 har jag dock ork för :-)

2. Du har cos(u+v)=cos(u)cos(v)-sin(u)sin(v). Låt nu u=v=A. Du får

cos(A+A)=cos(A)cos(A)-sin(A)sin(A)
cos(2A)=cos^2(A)-sin^2(A)

Trigonometriska ettan sin^2(A)+cos^2(A)=1 ger att sin^2(A)=1-cos^2(A). Vi substituerar in detta i cos(2A)=cos^2(A)-sin^2(A) som sin^2(A).

cos(2A)=cos^2(A)-(1-cos^2(A))
cos(2A)=cos^2(A)-1+cos^2(A)
cos(2A)=2cos^2(A)-1
Michster
Bronspostare
Bronspostare
Inlägg: 665
Blev medlem: sön 26 maj, 2013 20:31

Re: Matematik D - Trigonometriska ekvationer och samband

Inlägg av Michster »

anjanas skrev:Tjosanhejsan!

I triangeln ABC är AB = 5 cm, BC = 6 cm och AC = 4 cm.

1 a) Beräkna vinklarna A och B med fyra decimaler.

b) Resultatet i a) antyder ett enkelt samband mellan vinklarna A och B. Formulera och bevisa detta.

Jag har beräknat vinklarna i a) och kommit fram till att vinkel B är 2A, dvs dubbelt så stor. Men huruvida jag kan komma fram till detta sambandet mer än att se det på resultatet vet jag inte riktigt. Är det nån speciell formel jag ska använda?

2. Visa hur sambandet cos 2A = cos^2A-1 kan fås ur likheterna
cos (u+v) = cos u cos v - sin u sin v och sin^2u + cos^2u = 1

(Olyckligtvis lämnade facit på uppgift två enbart ett bindestreck så jag har ingen aning alls här.)

Tack på f-hand! :)
1. Cosinussatsen för att få fram vinkel A:

6^2=5^2+4^2-2*5*4*Cos(A)
Cos(A)=1/8

A=1.4455 rad

Vinkel B:

4^2=6^2+4^2-2*6*4*Cos(B)
Cos(B)=3/4

B=0.7227 rad

Så vi ser att 2B=A (inte B=2A)

b) Vi vill visa att 2B=A. Vi vet att cos(A)=1/8 och Cos(B)=3/4.

Om vi kan visa att Cos(2B)=Cos(A) så är 2B=A.

Cos(2B)=2Cos^2(B)-1=2*(3/4)^2-1
=2*(9/16)-1
=9/8-1
=1/8=Cos(A)

Vi ser att Cos(2B)=Cos(A) ---> 2B=A
Skriv svar