Hej,

Jag har alltid haft svårt med att välja rätt metod när jag arbetar med uppgifter där man skall räkna ut antalet kombinationer som är möjliga, och jag undrade om det finns något sätt som man kan lära sig detta.

Till exempel kan en uppgift vara:

Anna har 10 halsband, 5 ringar och 3 armband. Hur många dagar kan Anna ha en ny unik kombination av smycken:

Jag fick reda på att svaret är 10×5×3=150 unika kombinationer av smycken som hon kan ha på sig under 150 dagar.

Då tänkte jag att för att räkna ut antalet möjliga kombinationer så skall man multiplicera antalet av varje komponent med varandra.

Men då stötte jag på en annan uppgift som lyder så här:

Karl har 5 röda ädelstenar, 5 blåa ädelstenar, och 5 vita ädelstenar som han skall lägga in i ett halsband som har plats för 6 ädelstenar. Hur många olika kombinationer finns det?

Då tänkte jag att för att räkna ut alla möjliga kombinationer så skall jag ta 5×5×5=125

Jag hade fel då jag fick veta att svaret är 3^6-3=726.
Först vet vi att vi har 3 olika sorters ädelstenar och 6 olika platser som vi kan lägga in dessa ädelstenar ? 3^6=729.
Men då räknar vi också med en kombination där vi har 6 ädelstenar av samma sort (till exempel 6 röda ädelstenar i rad) vilket vi inte har och därmed måste vi ta bort tre kombinationer ? det finns 726 möjliga kombinationer som Karl kan bygga upp sitt halsband med.


Min fråga är om det finns något sätt som man kan ta reda på vilken metod man skall använda när man räknar ut antalet möjliga kombinationer?

Kombinatoriken lär man sig nog lättast av att bara nöta liknande uppgifter.
Tillslut så kommer du inse att nästan alla uppgifter kan formuleras om till något väldigt enkelt, och att de är nästan likadana.

Har problem med liknande uppgifter, t.ex.

Det är sju personer på en fest. Alla personer skakar hand med varandra exakt en gång.

I: Totala antalet handskakningar
II: 21

När jag skulle lösa den ritade jag upp sju streck som skulle symbolisera personerna, och drog streck mellan. Den första skakar hand med 6 st, den andra med 5 st osv. så svaret är alltså 6+5+4+3+2+1 = 21

Men hur skulle man löst den om uppgiften hade varit t.ex.

Det är 142 personer på en fest. Alla personer skakar hand med varandra exakt en gång, förutom 26 personer som skakar hand med varandra två gånger

Hur många handskakningar sker?

Baltic skrev: Men hur skulle man löst den om uppgiften hade varit t.ex.

Det är 142 personer på en fest. Alla personer skakar hand med varandra exakt en gång, förutom 26 personer som skakar hand med varandra två gånger

Hur många handskakningar sker?

Du kan ju börja med att räkna ut alla "enkla" handslag. Alltså, den första skakar hand med 141 st, den andra med 140 osv så du får
141 + 140 + 139 +.....+ 1 = 10011

Sen får vi räkna ut alla som skakar hand 2 gånger, vilket är 26 personer. då får vi ju 25+24+....+1= 325

Så svaret på frågan är alltså 10011+325= 10336 handskakningar

Använder du regeln för aritmetisk summa för att räkna ut det där?

Summa = n/2 (a1 + an)

n = antal termer
a1 = första termen
an = sista termen

141 + 140 + 139 +.....+ 1 (141/2)*(141 + 1)= 10011

25+24+....+1 = (25/2) * (25+1) = 325

Njae jag var lat och drog de på miniräknaren med en summa funktion.
Men hade jag varit tvungen att räkna ut dem i huvudet så hade jag använt mig av metoden du skrev.

Baltic skrev:Använder du regeln för aritmetisk summa för att räkna ut det där?

Summa = n/2 (a1 + an)

n = antal termer
a1 = första termen
an = sista termen

141 + 140 + 139 +.....+ 1 (141/2)*(141 + 1)= 10011

25+24+....+1 = (25/2) * (25+1) = 325

Om man kombinerar den här regeln med frågan du tidigare skrev där personerna var 7st så blir resultatet fel.

7/2*(7+1) ---> 3,5*8 = 28

Är det regeln som är felformulerad eller är det jag som har missuppfattat något, alternativt att regeln inte går att applicera på den här frågan?

EDIT: Jag insåg felet, det var mitt eget. Det det ska självklart vara 6/2*(6+1) ---> 3*7 = 21

Baltic skrev:Har problem med liknande uppgifter, t.ex.

Det är sju personer på en fest. Alla personer skakar hand med varandra exakt en gång.

I: Totala antalet handskakningar
II: 21

När jag skulle lösa den ritade jag upp sju streck som skulle symbolisera personerna, och drog streck mellan. Den första skakar hand med 6 st, den andra med 5 st osv. så svaret är alltså 6+5+4+3+2+1 = 21

Men hur skulle man löst den om uppgiften hade varit t.ex.

Det är 142 personer på en fest. Alla personer skakar hand med varandra exakt en gång, förutom 26 personer som skakar hand med varandra två gånger

Hur många handskakningar sker?

Ska svaret vara 21 på den första frågan? I så fall hade jag fått fel .. Jag trodde det var 7*6 = 30? Eftersom varje person har 7- sig själv = 6 personer att hälsa på?

Nej svaret är 21, rita upp sju streck bredvid varandra, som får symbolisera personerna, och dra linjer mellan strecken, som ska symbolisera handskakningarna, så får du se att den första måste hälsa på 6 st, den andra på 5, tredje på 4 osv.

Baltic skrev:Nej svaret är 21, rita upp sju streck bredvid varandra, som får symbolisera personerna, och dra linjer mellan strecken, som ska symbolisera handskakningarna, så får du se att den första måste hälsa på 6 st, den andra på 5, tredje på 4 osv.

Tack! Nu är jag med

Får det fortfarande till

7/2*(7+1) = 8*3,5 =28 när jag använder aritmetisk summa. vad gör jag fel?

den första termen är ju 1, och den sista 7. och det finns 7 termer totalt för att det är 7 personer. varför är sista termen 6?

kan någon snälla förklara? tack

Första personen skakar hand med 6 st. (Man skakar inte hand med sig själv)

Aha Nu förstår jag. Tack så jättemycket!

jag förstår inte uppgiften med handskakningar, skulle uppskatta om någon ville hjälpa mig och förklara.

Jag hänger med att man ska hälsa på 6 personer då man inte skakar han med sig själv, men hur får ni det till att den andra skakar hand med fem, tredje med 4 osv? :/

Nu när jag tänker efter så stämmer det, men hur ritar ni upp de med streck och tänker? Jag fick skriva det för att förstå, men kanske underlättar om man lär si den metoden med streck. Kan någon bifoga bild om det är möjligt?