Hej!

Kan någon hjälpa mig hur jag ska tänka i nedan uppgift.

Avgör om påståendet är sant:

5^(1/3) < 11^(1/4)

Handlar alltså om tredje roten ur 5 mot fjärde roten ur 11.

Hur resonerar man här? Gjorde om exponenterna till samma nämnare men har svårt att utläsa ett svar. Tack på förhand!

Finns säkert flera vettiga sätt, jag löste den i alla fall genom att kvadrera båda leden två gånger.
Kvadrering av båda led innebär att man upphöjer allt på respektive sida av (o)likhetstecknet till 2. Sedan måste man kunna potenslagen som säger att t.ex. 2^3 * 2^4 = 2^(3+4) = 2^7 och att det med hjälp av denna går att dela upp en potens i flera faktorer.

Den första kvadreringen av båda leden ger:
5^(1/3)^2 < 11^(1/4)^2
vilket enligt potenslagar är detsamma som
5^(2/3) < 11^(2/4)

Det är fortfarande svårt att avgöra vilket som är störst. Kvadrerar därför igen:
5^(2/3)^2 < 11^(2/4)^2
vilket är detsamma som
5^(4/3) < 11^(4/4)

Vänsterledet kan enligt lagen om potensmultiplikation skrivas om till 5^(3/3) * 5^(1/3) eller bara 5 * 5^(1/3). Högerledet blir 11.

Vi får:
5 * 5^(1/3) < 11

Vi försöker nu analysera vänsterledet. 5^(1/3) är ett tal som sig självt gånger tre blir 5. Detta talet måste vara mindre än 2, eftersom att 2^3 är lika med 8. Eftersom 5^(1/3) enligt vår omskrivning ska multipliceras med 5 kan inte det uttrycket bli större än 10. Detta då 5 * 2 = 10 men 5^(1/3) är ju mindre än 2 och då måste även 5 * 5^(1/3) bli mindre än 10.

Är 5 * 5^(1/3) mindre än 10 är det även mindre än 11 vilket hjälper oss att besvara frågan.
Notera att vi inte behöver bestämma något exakt värde 5^(1/3) utan det räcker att konstatera att värdet är mindre än 2.

Hoppas det var någorlunda förståeligt!