Matematiska nötter

Diskussioner kring NOG-delen samt NOG-uppgifter
Användarvisningsbild
Guldbollen
Platinapostare
Platinapostare
Inlägg: 5052
Blev medlem: ons 01 feb, 2006 1:00
Ort: Stockholm

Matematiska nötter

Inläggav Guldbollen » tis 31 okt, 2006 13:20

Tjena!

Jag fick just en matematisk nöt av en kompis. Har ingen aning om den går att lösa men jag lyckas inte komma fram till något vettigt, trots att det verkligen känns som att jag borde lyckas. Sen är det givetvis fritt fram att posta egna nötter, förutsatt att någon löser denna först. :wink:

Här kommer den:

[b:f1c5fb94a0]"Om jag har 100 Kronor och ska köpa exakt 100 djur för 100 kronor, hur många djur kan jag köpa av varje?"[/b:f1c5fb94a0]

[i:f1c5fb94a0]Kossor: 10Kr/st
Får: 3kr/st
Hönor: 0.5Kr/st[/i:f1c5fb94a0]


Tusen tack! :)

Användarvisningsbild
Guldbollen
Platinapostare
Platinapostare
Inlägg: 5052
Blev medlem: ons 01 feb, 2006 1:00
Ort: Stockholm

Inläggav Guldbollen » tis 31 okt, 2006 13:47

Det är helt enkelt bara att testa med 1-9 kor.

Då får man fram följande svar:

Har vi 94 hönor, 1 får och 5 kor så får vi 100 djur på 100 kronor.

Skulle dock vilja ha ett smidigare sätt än att testa med 1-9 kor. Någon?

MathiasKahn
Newbie-postare
Newbie-postare
Inlägg: 52
Blev medlem: mån 21 aug, 2006 2:00

Inläggav MathiasKahn » ons 01 nov, 2006 17:16

Man ska alltså försöka få så många som möjligt av varje djur för 100 kr?

Användarvisningsbild
Guldbollen
Platinapostare
Platinapostare
Inlägg: 5052
Blev medlem: ons 01 feb, 2006 1:00
Ort: Stockholm

Inläggav Guldbollen » ons 01 nov, 2006 17:47

Du ska försöka få exakt 100 djur för 100 kr. Spelar ingen roll hur många av varje du köper. Bara du köper minst ett djur av varje.

Har sett att svaret finns publicerat på Fråga Lunds hemsida om matematik. Förklaringen ligger dock utanför mitt kompetensområde.

Perra
Newbie-postare
Newbie-postare
Inlägg: 12
Blev medlem: sön 23 jul, 2006 2:00

Re: Matematiska nötter

Inläggav Perra » ons 01 nov, 2006 23:11

[quote:75f0f06896="Guldbollen"]
[b:75f0f06896]"Om jag har 100 Kronor och ska köpa exakt 100 djur för 100 kronor, hur många djur kan jag köpa av varje?"[/b:75f0f06896]

[i:75f0f06896]Kossor: 10Kr/st
Får: 3kr/st
Hönor: 0.5Kr/st[/i:75f0f06896]
[/quote:75f0f06896]

10x + 3y + 0,5z = 100 kr

x + y + z = 100 st

I mina ögon ser det ut som omöjligt att lösa eftersom du har 3 okända termer. Men visserligen var det länge sedan jag läste matte. Kanske går att rita funktionerna i ett kordinatsystem och se var skärningspunkten är.

Går ju att uttrycka x som y & z; y som x & z; och z som y & x... oavsett vilken man väljer har man ju då bara två okända kvar. Sedan borde detta gå att rita upp i ett kordinatsystem och leta skärningspunkt om man fuskar lite med en grafräknare. Om man inte är hardcore och lyckas lösa ekvationerna.

Jaja, har inte riktigt kunskaperna kvar för genomförandet. Om någon orkar kan dom ju försöka sig på detta på det här sättet.

Användarvisningsbild
Guldbollen
Platinapostare
Platinapostare
Inlägg: 5052
Blev medlem: ons 01 feb, 2006 1:00
Ort: Stockholm

Inläggav Guldbollen » ons 01 nov, 2006 23:24

Svaret på denna nöt ges av diofantiska ekvationer och euklides algoritm, något jag aldrig varit i kontakt med. Kanske någon annan har. Såhär löd svaret i alla fall:

Problemet är att x, y och z skall vara heltal. Du har kommit fram till en ekvation själv och multiplicerar vi båda leden med 2 får vi heltalskoefficienter.


20x + 6y + z = 200.
Utnyttjar vi att antalet djur är 100 får vi också


x + y + z = 100
och drar vi den senare ekvationen från den förra kan vi eliminera z och få


19x + 5y = 100.
Detta är en Diofantisk ekvation i två obekanta. För att finna en lösning användes Euklides algoritm.


19 = 4.5 - 1
5 = 5.1

visar att SGD(19,5) = 1 och räknar vi baklänges får vi

1 = 19.(-1) + 5.4.
(Denna metod fungerar även för andra koefficienter, i detta speciella fall kunde vi löst problemet mer direkt.)

Vi behöver nu bara multiplicera de båda leden i likheten med 100.

100 = 19.(-100) + 5.400.
och ser att x0 = -100, y0 = 400 är en lösing till den diofantiska ekvationen. Om x, y är en lösning gäller


19x + 5y = 19x0 + 5y0
vilket är ekvivalent med


19(x - x0) = -5(y - y0)
vilket ger att 19(x - x0) är delbart med 5 och eftersom SGD(19,5) = 1 så x - x0 är delbart med 5, dvs


x - x0 = 5n
för något heltal n. Sätter vi in detta får vi


y - y0 = -19n.
Uttryck z med hjälp av dessa lösningar och utnyttja nu att x, y och z är positiva för att finna de möjliga värdena på n.

Kjell Elfström

[i:a040636d47]Svarat av Kjell Elfström vid Lunds universitet, från hemsidan http://www.maths.lth.se/query/, fråga Lund om matematik.[/i:a040636d47]

Dandrum
Newbie-postare
Newbie-postare
Inlägg: 1
Blev medlem: tor 02 nov, 2006 1:00

Inläggav Dandrum » tor 02 nov, 2006 3:01

Ett annat sätt kan var lösa problemet med hjälp av inekvationer (?)

Vi har

20a+6b+c=200
a+b+c=100

Skriv nytt ekvationsystem som funktion av tredje variabel,

20a+6b=200-c
a+b=100=c

Lösning för a

14a=5c-400
men a>0, b>0 och c>0
därför from ovanstående ekvation får vi

c>=80

Lösning för b,

14b=1800-19c>0


c<=94<1800/19

Och vi har 80<=c<=94

från den ursprungliga ekvationsystem får vi att

c=18a+4b

och

40<=9a+2b<=47

Vi kan börja med att gissa på c=94 (bara på känsla)
Då får vi från a+b+c=100,

a+b=6

och

a=5 och b=1

Med lite intuition går det att gissa rätt. Ibland.

srun
Newbie-postare
Newbie-postare
Inlägg: 1
Blev medlem: mån 13 apr, 2009 9:21

Re: Matematiska nötter

Inläggav srun » mån 13 apr, 2009 10:23

Lös ekvationen
(1) 10x + 3y +0.5z = 100
(2) x + y + z = 100
genom att ta 2*(1) - (2) för att eliminera z.
Det ger
(3) 19x + 5y = 100
dvs sök heltalslösningar längs linjen y = 20 - 19x/5
samt y > 0. 19 är inte jämt delbart med 5. För alla x >= 1 och x <= 5 kan y endast anta heltalslösning för x = 5.
Svaret är : 5 Kossor, 1 Get, och 94 Höns.


cron
Intresseanmälan

Du är inte VIP-medlem. Lämna en intresseanmälan och få information helt gratis!

Dagens ord
EKLATANT
påfallande, slående, uppenbar
Nästa prov

14/4 - 2018 kl 8:10
147 dagar 12 timmar och 25 minuter kvar att förbereda sig på.

Sista anmälningsdag:
1/2 - 2018 kl 23:59

Utvalda forumtrådar