21. Summan av två tal är 25. Vilka är de två talen?

(1) Om hälften av det ena talet summeras med det andra talet blir summan 19.

(2) 2/3 av det ena talet är 4/3 enheter mindre än 5/6 av det andra talet.


Tillräcklig information för lösningen erhålles
A i (1) men ej i (2)
B i (2) men ej i (1)
C i (1) tillsammans med (2)
D i (1) och (2) var för sig
E ej genom de båda påståendena

21. Summan av två tal är 25. Vilka är de två talen?

(1) Om hälften av det ena talet summeras med det andra talet blir summan 19.

x + y = 25

x/2 + y = 19
x = 2(19 - y)
x = 38 - 2y

Insättning i ursprungsekvationen:

38 - 2y + y = 25
38 - y = 25
38 - 25 = y
y = 13

Insättning i ursprungsekvationen:

x + 13 = 25
x = 25 - 13
x = 12

(2) 2/3 av det ena talet är 4/3 enheter mindre än 5/6 av det andra talet.

x + y = 25

2x/3 = 5y/6 - 4/3
2x = 3(5y/6 - 4/3)
2x = 15y/6 - 12/3
x = 15y/12 - 6/3
x = 5y/4 - 2

Insättning i ursprungsekvationen:

5y/4 - 2 + y = 25
9y/4 = 25 + 2
9y = 27 * 4
y = 108 / 9
y = 12

Insättning i ursprungsekvationen:

x + 12 = 25
x = 25 - 12
x = 13

Bluejay1 skrev:empezar har inte helt rätt, även om hans lösningsgång är stringent och riktig.

I uppgiften frågas det efter ett talpar som satisfierar ekvationerna, alltså en unik lösning. Att ett system av två ekvationer och två obekanta implicerar att ekvationssystemet är lösbart är emellertid inte sant. Ponera att vi utgår från den grafiska tolkningen när båda ekvationerna är parallella. I det här fallet kommer linjerna aldrig att skära varandra, varför systemet ifråga saknar lösning. Om den ena ekvationen istället är en multipel av den andra kommer systemet att ha oändligt många lösningar, då båda linjerna sammanfallet. Detta beror för övrigt på att vi endast har en diofantisk ekvation att arbeta med.

I det här fallet är förvisso varken ekvationerna multiplar av varandra eller parallella. Det går då att dra slutsatsen som empezar gjorde när han konstaterade att två ekvationer och två obekanta implicerar att systemet är lösbart. Märk väl att detta är en sanning med modifikation. Undersök _alltid_ om systemet du arbetar med består av två parallella ekvationer eller multiplar av ekvationer.

cricks skrev: Hur gör man detta då, BLuejay1?

gestir skrev:Det här steget förstod jag inte:
5y/4 - 2 + y = 25
9y/4 = 25 + 2

Hur blev 5y förvandlat till 9y?

5y/4 + y = 5y/4 + 4y/4 = 9y/4

jonber skrev:

cricks skrev: Hur gör man detta då, BLuejay1?

Kolla så två ekvationer faktiskt är unika, så att det inte är en ekvation skriven på två olika sätt, tänker jag.

Ekvationen 50x = 150y är samma som;
10x + 40x = (75*2)y

Eller menar BLuejay1 annat?

Bluejay1 skrev:empezar har inte helt rätt, även om hans lösningsgång är stringent och riktig.

I uppgiften frågas det efter ett talpar som satisfierar ekvationerna, alltså en unik lösning. Att ett system av två ekvationer och två obekanta implicerar att ekvationssystemet är lösbart är emellertid inte sant. Ponera att vi utgår från den grafiska tolkningen när båda ekvationerna är parallella. I det här fallet kommer linjerna aldrig att skära varandra, varför systemet ifråga saknar lösning. Om den ena ekvationen istället är en multipel av den andra kommer systemet att ha oändligt många lösningar, då båda linjerna sammanfallet. Detta beror för övrigt på att vi endast har en diofantisk ekvation att arbeta med.

I det här fallet är förvisso varken ekvationerna multiplar av varandra eller parallella. Det går då att dra slutsatsen som empezar gjorde när han konstaterade att två ekvationer och två obekanta implicerar att systemet är lösbart. Märk väl att detta är en sanning med modifikation. Undersök _alltid_ om systemet du arbetar med består av två parallella ekvationer eller multiplar av ekvationer.

Endiv2014 skrev:Kan någon förklara allt som står här?

Michster skrev:

Endiv2014 skrev:Kan någon förklara allt som står här?

Summa summarum: Kolla alltid om ekvationerna du får fram i NOG är beroende eller oberoende.