VT 2009 uppgift 22

Diskussioner kring NOG-delen samt NOG-uppgifter
Användarvisningsbild
.eva
Stammis
Stammis
Inlägg: 196
Blev medlem: ons 07 jan, 2009 17:04

VT 2009 uppgift 22

Inläggav .eva » sön 07 mar, 2010 22:23

22.
0 < z < y
Är (x + y)/z > (x + z)/y?

(1) x > y

(2) x > 0

Tillräcklig information för lösningen erhålles
A i (1) men ej i (2)
B i (2) men ej i (1)
C i (1) tillsammans med (2)
D i (1) och (2) var för sig
E ej genom de båda påståendena
Hur närmar man sig en sådan här uppgift? Jag försökte sätta in lite random siffror, och gissade därefter D, vilket är rätt. Men hur kan man vara säker på detta?

Användarvisningsbild
.eva
Stammis
Stammis
Inlägg: 196
Blev medlem: ons 07 jan, 2009 17:04

Re: VT 2009 uppgift 22

Inläggav .eva » tis 09 mar, 2010 15:54

Lite hjälp här skulle uppskattas enormt! Eller tips på var man kan lära sig den här typen av matematik.

MichaelRP
Newbie-postare
Newbie-postare
Inlägg: 50
Blev medlem: fre 15 aug, 2008 14:54

Re: VT 2009 uppgift 22

Inläggav MichaelRP » tis 09 mar, 2010 17:39

Då man vet att z och y är positiva (från olikheten 0<z<y) så kan man multiplicera med zy på bägge sidor (utan att olikhetstecknet byter håll), så får man ett enklare uttryck att analysera:

y(x+y)>z(x+z)

Från påstående (1) får vi reda på att x är större än både z och y (således också positivt).

Då kan man titta på de bägge produkterna:

0<z<y<x -->{+x i alla termer}--> (0+x)<(z+x)<(y+x)<(x+x)

Man ser då att (x+y)>(x+z)

Vi vet också att y>z.

Alltså; produkten i vänsterledet är produkten av två tal som båda är större än de tal som multipliceras ihop i högerledet.
-----------
I påstående (2) får vi reda på att x kan va vilket positivt tal som helst, men även 0.

Låter vi x=0; y(0+y)>z(0+z)
--> yy>zz {y>z:från grundpåståendet}; olikheten stämmer.

Låter vi x vara vilket positivt heltal (x) som helst:
--> yx+yy>zx+zz
{multiplicerar olikheten i grundpåståendet med x: 0x<zx<yx (x är positivt alltså vänder inte tecknet)}

Alltså; zx<yx och zz<yy --> yx+yy>zx+zz


Vet inte om det var det smidigaste sättet att göra det på. Man behöver ju inte göra alla jämförelser, utan man ser väl ganska snabbt vad som gäller.

EDIT: Såg att x var skilt från noll i påstående (2). Så man behöver inte titta på när x=0...

Användarvisningsbild
Jokerstyle
Newbie-postare
Newbie-postare
Inlägg: 64
Blev medlem: tor 26 nov, 2009 16:32

Re: VT 2009 uppgift 22

Inläggav Jokerstyle » tis 05 okt, 2010 9:40

Tack för förklaringen MichaelRP, men jag har lite svårt att förstå vad du gjorde i tvåan. Någon som känner ett kall att förklara på en tioårings nivå?

MichaelRP
Newbie-postare
Newbie-postare
Inlägg: 50
Blev medlem: fre 15 aug, 2008 14:54

Re: VT 2009 uppgift 22

Inläggav MichaelRP » tis 05 okt, 2010 19:57

MichaelRP skrev:
Låter vi x vara vilket positivt heltal (x) som helst:
--> yx+yy>zx+zz -->Kommer från y(x+y)>z(x+z)

{multiplicerar olikheten i grundpåståendet med x: 0x<zx<yx (x är positivt alltså vänder inte tecknet)}

Alltså; zx<yx och zz<yy --> yx+yy>zx+zz --> Genom en jämförelse av produkterna på båda sidor i den här olikheten yx+yy>zx+zz, så ser man att båda produkerna i vänsterledet är större än motsvarande i högerledet. Vilket också ger att summan av dessa produkter är större än summan av produkterna i högerledet, alltså är olikheten sann.
Man kan även utgå från den här olikheten y(x+y)>z(x+z) och jämföra produkterna där.

Vi vet från påstående (1) att;

0<z<y -->{+x i alla termer}--> (0+x)<(z+x)<(y+x)

Man ser då att (x+y)>(x+z)

Vi vet även från grundinfo att;

0 < z < y


Tittar vi på y(x+y)>z(x+z) så ser vi även här att produkten i högerledet är större än produkten i vänsterledet [y är större än z, och (x+y) är större än (x+z)]

Användarvisningsbild
Flow91
Bronspostare
Bronspostare
Inlägg: 676
Blev medlem: fre 12 sep, 2008 23:31

Re: VT 2009 uppgift 22

Inläggav Flow91 » tis 05 okt, 2010 20:07

MichaelRP skrev:
MichaelRP skrev:
Låter vi x vara vilket positivt heltal (x) som helst:
--> yx+yy>zx+zz -->Kommer från y(x+y)>z(x+z)

{multiplicerar olikheten i grundpåståendet med x: 0x<zx<yx (x är positivt alltså vänder inte tecknet)}

Alltså; zx<yx och zz<yy --> yx+yy>zx+zz --> Genom en jämförelse av produkterna på båda sidor i den här olikheten yx+yy>zx+zz, så ser man att båda produkerna i vänsterledet är större än motsvarande i högerledet. Vilket också ger att summan av dessa produkter är större än summan av produkterna i högerledet, alltså är olikheten sann.
Man kan även utgå från den här olikheten y(x+y)>z(x+z) och jämföra produkterna där.

Vi vet från påstående (1) att;

0<z<y -->{+x i alla termer}--> (0+x)<(z+x)<(y+x)

Man ser då att (x+y)>(x+z)

Vi vet även från grundinfo att;

0 < z < y


Tittar vi på y(x+y)>z(x+z) så ser vi även här att produkten i högerledet är större än produkten i vänsterledet [y är större än z, och (x+y) är större än (x+z)]
Du menar väl att produkten i vänstra ledet är större än den högra? Eller misstar jag mig fel? :P

MichaelRP
Newbie-postare
Newbie-postare
Inlägg: 50
Blev medlem: fre 15 aug, 2008 14:54

Re: VT 2009 uppgift 22

Inläggav MichaelRP » tis 05 okt, 2010 20:13

Flow91 skrev:
MichaelRP skrev:
MichaelRP skrev:
[Klipp]


Tittar vi på y(x+y)>z(x+z) så ser vi även här att produkten i högerledet är större än produkten i vänsterledet [y är större än z, och (x+y) är större än (x+z)]
Du menar väl att produkten i vänstra ledet är större än den högra? Eller misstar jag mig fel? :P
Yes, precis. Ibland skriver jag inte vad jag menar...

Användarvisningsbild
Flow91
Bronspostare
Bronspostare
Inlägg: 676
Blev medlem: fre 12 sep, 2008 23:31

Re: VT 2009 uppgift 22

Inläggav Flow91 » tis 05 okt, 2010 20:16

MichaelRP skrev:
Flow91 skrev:
MichaelRP skrev: Du menar väl att produkten i vänstra ledet är större än den högra? Eller misstar jag mig fel? :P
Yes, precis. Ibland skriver jag inte vad jag menar...
Hihi, gör inget! Önskar att jag var så uppmärksam på det riktiga provet bara. ;P Bra lösning btw!

tomast80
Newbie-postare
Newbie-postare
Inlägg: 27
Blev medlem: fre 23 okt, 2009 8:47
Kontakt:

Re: VT 2009 uppgift 22

Inläggav tomast80 » ons 06 okt, 2010 19:48

Hej!

Se min lösning här: http://www.matteboken.se/?valdSida=nogD ... rs=Nog_Dtk

Kan vara bra ibland att se flera alternativa lösningar.

/Tomas

Angor
Newbie-postare
Newbie-postare
Inlägg: 37
Blev medlem: lör 16 aug, 2008 20:33

Re: VT 2009 uppgift 22

Inläggav Angor » tor 07 okt, 2010 11:05

Nu kanske jag tänker fel men är inte uppgiften mycket lättare än den ser ut? Svar ska vara D.

"Är (x + y)/z > (x + z)/y ?"

Om man först innan man tittar på påståendena bortser från x så blir det y/z > z/y vilket är självklart eftersom att y > z och båda är positiva tal (0 < z < y).

(1) säger att x > y. Ja men det är väl självklart då att olikheten fortfarande stämmer? Adderar du ett positivt tal till y/z och samma heltal till z/y så kommer y/z fortfarande vara störst eftersom att det var störst från början innan additionen.

(2) säger att x > 0. Samma sak. Spelar ingen roll om x är 1 eller 1 000 000.



Om man provar sätta värden. vi säger att z = z och y = z + 1

(z + 1)/z är större än z/(z + 1) eftersom att z är ett positivt tal. (z + 1 + 1)/z är större än z/(z + 1 + 1), samma sak om man ersätter ettan med 1 000 000.


EDIT: Tänk om x = oändligheten? Oändligheten + y är fortfarande oändlighet. Oändligheten + z är fortfarande oändlighet. Oändlighet delat med y är fortfarande oändlighet. Oändlighet delat med z är fortfarande oändlighet. Då stämmer inte påståendet. Då borde väl svaret vara E?

Användarvisningsbild
empezar
Platinapostare
Platinapostare
Inlägg: 6324
Blev medlem: tis 24 okt, 2006 2:00

Re: VT 2009 uppgift 22

Inläggav empezar » tor 07 okt, 2010 11:39

Angor skrev:EDIT: Tänk om x = oändligheten? Oändligheten + y är fortfarande oändlighet. Oändligheten + z är fortfarande oändlighet. Oändlighet delat med y är fortfarande oändlighet. Oändlighet delat med z är fortfarande oändlighet. Då stämmer inte påståendet. Då borde väl svaret vara E?
Är inte det här mer filosofi än matematik?

Användarvisningsbild
simwes
Stammis
Stammis
Inlägg: 103
Blev medlem: tor 22 apr, 2010 17:06

Re: VT 2009 uppgift 22

Inläggav simwes » tor 07 okt, 2010 15:44

I vilken matte lär man sig om begreppet oändligheten? Det är väl inte förrän Matte C, eller?

Användarvisningsbild
Flow91
Bronspostare
Bronspostare
Inlägg: 676
Blev medlem: fre 12 sep, 2008 23:31

Re: VT 2009 uppgift 22

Inläggav Flow91 » tor 07 okt, 2010 15:46

simwes skrev:I vilken matte lär man sig om begreppet oändligheten? Det är väl inte förrän Matte C, eller?
Nej, man lär sig inte det i matte C. I matte E tror jag.

carmal
Stammis
Stammis
Inlägg: 168
Blev medlem: fre 20 aug, 2010 13:19

Re: VT 2009 uppgift 22

Inläggav carmal » tor 07 okt, 2010 15:53

en fråga:

Jag gjorde nyligenn 22:an och svarade D....den tekniken jag använde mig av var att sätta in lite olika tal somm följde dem olika påståendena och så kunde jag gansk snabbt se attt det blev D......men vissa inlägg här ser läskigt krångliga ut eller är det värt att tänka så?

Användarvisningsbild
Flow91
Bronspostare
Bronspostare
Inlägg: 676
Blev medlem: fre 12 sep, 2008 23:31

Re: VT 2009 uppgift 22

Inläggav Flow91 » tor 07 okt, 2010 15:54

carmal skrev:en fråga:

Jag gjorde nyligenn 22:an och svarade D....den tekniken jag använde mig av var att sätta in lite olika tal somm följde dem olika påståendena och så kunde jag gansk snabbt se attt det blev D......men vissa inlägg här ser läskigt krångliga ut eller är det värt att tänka så?
Ju djupare man tänker, desto större chans är det att man förstår och kanske löser likanande tal?


cron
Intresseanmälan

Du är inte VIP-medlem. Lämna en intresseanmälan och få information helt gratis!

Dagens ord
SOTTIS
dumhet, dumt yttrande, "groda"
Nästa prov

14/4 - 2018 kl 8:10
140 dagar 2 timmar och 8 minuter kvar att förbereda sig på.

Sista anmälningsdag:
1/2 - 2018 kl 23:59

Utvalda forumtrådar