B) vad är arean av enregelbunden 6-hörning med sidan a?

Har ritat upp och försökt men får inte till det. Hjälp skulle behövas

Rita upp en regelbunden hexagon med sidan a (se bilden).

Dra sedan diagonaler så här (strunta i beteckningarna i figuren):



Du har nu sex stycken kongruenta trianglar. Dra en höjd h från cirkelns mitt ned till varje bas på trianglarna. Du har nu delat basen i varje triangel i två lika stora delar a/2.

Med lite trigonometri får du att tan(30°)=(a/2)/h vilket ger att h=(a/2)/tan(30°).
tan(30°)=1/sqrt(3) så du har att höjden h är h=(a/2)/(1/sqrt(3))=(a*sqrt(3))/2

Arean för en triangel är basen multiplicerat med höjden dividerat med två. Det ger:

Area_Triangel = (a*(a*sqrt(3))/2)/2=(a^2*sqrt(3))/4

Men du har sex trianglar, så arean för hela hexagonen blir

A_Hexagon = 6*(a^2*sqrt(3))/4=(3a^2*sqrt(3))/2

där a är sidan på hexagonen.

Tillägg (alternativ lösning):

Eftersom diagonalerna delar varje hörn i hälften har vi faktiskt liksidiga trianglar med vinklarna 60° (triangelsumman i en hexagon är 180*4=720 och varje hörn har en vinkel på 720/6=120 som sedan delas i hälften), vilket innebär att varje sida i trianglarna är av längd a. Areasatsen ger för en triangel:

(a*a*sin(60°))/2=(a^2*sqrt(3)/2)/2=(a^2*sqrt(3))/4

för sex trianglar blir det

A_Hexagon = 6*(a^2*sqrt(3))/4=(3a^2*sqrt(3))/2

Tack