Fråga 18.
Enklast är att rita upp figuren efter hand som man kommer fram till hur den ser ut.
Grundfakta: Ur given grundfakta får man fram att punkterna x, y och z bildar en rätvinklig triangel där hypotenusan skär punkten M. Detta då vinkeln xyz = 90° vilket enligt
randvinkelsatsen ger att vinkeln xMz = 180°.
Fakta 1.
xy = cirkeln radie. Cirkelns radie är även lika med xM och yM eftersom denna sträcka går från cirkelns mittpunkt till cirkelbågen (dvs sträckan = radien). Därmed bildar triangeln xyM en liksidig triangel då alla sidor är lika med cirkelns radie. Att triangeln är liksidig innebär att alla vinklar är lika med 60°.
Nu kan man räkna ut vinklarna för triangeln yzM. Då vinkeln xyz = 90° och vinkeln yxz = 60° är vinkeln xzy = 180°-90°-60° = 30°. Vinkeln yMz = xMz-xMy = 180°-60° = 120°. Vinkeln Myz = xyz-xyM = 90° - 60° = 30°.
Då man vet alla vinklar i triangeln yMz och 2 sidor (yM = zM = cirkelns radie) kan man räkna ut yz genom
sinussatsen.
sin(Myz)/Mz = sin(yMz)/yz <=>
yz = sin(yMz)*Mz/sin(Myz) = sin(120°)*5/sin(30°) = 8,66 cm
Uppgiften går att lösa med fakta 1.
Fakta 2.
Fakta 2 säger ingenting mer än det vi redan visste, dvs att vinkeln xyz = 90°. Detta står redan i given grundfakta.
Då grundfakta ger oss en triangel med en rät vinkel vet vi att de två övriga vinklar har en vinkelsumma på 90° då 180° (triangelsvinkelsumma) - 90° (den räta vinkeln) = 90° (de två övriga vinklarna).
Uppgiften går inte att lösa med fakta 2.
Edit: Med fakta 1 går uppgiften att lösa på ett snabbare/enklare sätt än det jag skrev i natt.
Efter att ha kommit fram till att triangeln xMy är liksidig kan man få ut sidan yz genom:
tan(vinkeln yxz) = sidan yz / sidan xy <=>
sidan yz = tan(vinkeln yxz) * sidan xy
yz = tan(60°) * 5
yz = 8,66 cm