Svaret på denna nöt ges av diofantiska ekvationer och euklides algoritm, något jag aldrig varit i kontakt med. Kanske någon annan har. Såhär löd svaret i alla fall:
Problemet är att x, y och z skall vara heltal. Du har kommit fram till en ekvation själv och multiplicerar vi båda leden med 2 får vi heltalskoefficienter.
20x + 6y + z = 200.
Utnyttjar vi att antalet djur är 100 får vi också
x + y + z = 100
och drar vi den senare ekvationen från den förra kan vi eliminera z och få
19x + 5y = 100.
Detta är en Diofantisk ekvation i två obekanta. För att finna en lösning användes Euklides algoritm.
19 = 4.5 - 1
5 = 5.1
visar att SGD(19,5) = 1 och räknar vi baklänges får vi
1 = 19.(-1) + 5.4.
(Denna metod fungerar även för andra koefficienter, i detta speciella fall kunde vi löst problemet mer direkt.)
Vi behöver nu bara multiplicera de båda leden i likheten med 100.
100 = 19.(-100) + 5.400.
och ser att x0 = -100, y0 = 400 är en lösing till den diofantiska ekvationen. Om x, y är en lösning gäller
19x + 5y = 19x0 + 5y0
vilket är ekvivalent med
19(x - x0) = -5(y - y0)
vilket ger att 19(x - x0) är delbart med 5 och eftersom SGD(19,5) = 1 så x - x0 är delbart med 5, dvs
x - x0 = 5n
för något heltal n. Sätter vi in detta får vi
y - y0 = -19n.
Uttryck z med hjälp av dessa lösningar och utnyttja nu att x, y och z är positiva för att finna de möjliga värdena på n.
Kjell Elfström
[i:a040636d47]Svarat av Kjell Elfström vid Lunds universitet, från hemsidan
http://www.maths.lth.se/query/, fråga Lund om matematik.[/i:a040636d47]