hej! hur löser jag denna fråga:
"vilken är störst, 6^200 eller 2^500?"
eller denna fråga:
"ordna i storleksordning utan räknare:
2^24, 3^18, 4^15 och 5^6"

känns som att det är samma regler på bägge frågor som jag glömt.

Jag har klurat på dem här ett tag nu och kommit fram till något hyffsat. Några exempel först:

Exempel

Säg att vi vill jämföra 3^20 och 2^30. Det verkar som att vi kan förenkla problemet för att komma fram till lösningen. Låt oss istället jämföra 3^2 och 2^3 (förhållandet mellan exponenterna är samma som innan).

Då kan vi ta kvoten mellan dem först:

(3^2)/(2^3) = 9/8 = 1.125

Vi vet att:

3^20 = (3^2)^10
2^30 = (2^3)^10

Då kan vi skriva om ekvationen ovan så att det står (3^20)/(2^30) istället för (3^2)/(2^3) genom att upphöja båda leden med 10:

((3^2)/(2^3))^10 = (3^(2*10))/(2^(3*10)) = (3^20)/(2^30)

Vi har redan ekvationen:

(3^2)/(2^3) = 1.125

Då ser vi att om vi upphöjer båda sidor med 10 så får vi (3^20)/(2^30) på ena sidan och 1.125^10 på andra sidan:

((3^2)/(2^3))^10 = 1.125^10
(3^20)/(2^30) = 1.125^10

Det innebär att hur mycket vi än upphöjer talet (3^2)/(2^3) med ett positivt tal så kommer kvoten enbart att öka enligt förhållandet 1.125^x, där x är det positiva tal vi upphöjer kvoten i. Allmänt:

(3^2x)/(2^3x) = 1.125^x

Eftersom 1.125 är ett heltal större än 1 (som upphöjt i ett tal större än 1 alltid kommer att öka) så har vi visat:

(3^2)/(2^3) > 1

Vilket medför att:

3^2x > 2^3x

Således:

3^20 > 2^30

Uppgift ett

Vilket är störst, 6^200 eller 2^500?

Först förenklar vi men behåller förhållandet mellan exponenterna. Enklast är att dela exponenterna med 100 för att erhålla ental:

Vilket är störst, 6^2 eller 2^5?

6^2 = 36
2^5 = 32

(6^2)/(2^5) > 1

Då följer att:

6^2x > 2^5x

(Så länge x är ett positivt tal).

I det här fallet så är x = 100 och vi får:

6^200 > 2^500

(Det räcker dock att förenkla till 6^2 och 2^5, jämföra, och dra slutsatsen. Så länge förhållandet mellan exponenterna är samma som innan så kommer det att stämma).

Uppgift två

Här får vi följa samma princip. Vi vill jämföra alla talen på samma sätt, d.v.s. att vi först förenklar talen men behåller förhållandet mellan exponenterna, ser sambandet och drar slutsatsen. Eftersom vi har flera olika tal måste vi nu ta hänsyn till de faktorer som förekommer i exponenterna, för att hålla det enkelt.

24, 18, 15 och 6 har största gemensamma faktor 3.

Vi skriver alltså om talen så enkelt vi kan samtidigt som de är upphöjda i 3:

2^24 = (2^8)^3
3^18 = (3^6)^3
4^15 = (4^5)^3
5^6 = (5^2)^3

Sedan jämför vi talen som står inom parenteserna:

2^8 = 256
3^6 = 729
4^5 = 1024
5^2 = 25

5^2 < 2^8 < 3^6 < 4^5

Vilket medför:

5^2x < 2^8x < 3^6x < 4^5x

(x = 3)

5^6 < 2^24 < 3^18 < 4^15

(Om vi inte kan räkna ut potenserna på egen hand så räcker det med att göra hyffsade uppskattningar. Vi ser ju direkt att 25 är minst. Det är dock bra att kunna ställa upp multiplikation och använda sig av det om det inte går rakt av. Kanske kan man också ställa upp bråk och jämföra på något vis).